简谐振动的表达式

先回答第二个问题，先后顺序其实没那么重要，可以是先发现解满足方程，也可以先发现方程再看到解一样，所以先看到圆周运动牛二列出来分解以后是简谐的牛二，也可以是看到解是圆周分量倒过来证明，具体顺序不打紧，哪个对你好理解用哪个。

第一个问题是线性齐次常微分方程的通用逻辑，就是形式是\( x=Ae^{\lambda t} \)这样的东西n阶导是什么。
$$ \dot{x}=A\frac{d(e^{(\lambda t)})}{d(\lambda t)}\cdot \frac{d(\lambda t)}{d t}=Ae^{\lambda t} \cdot \lambda=\lambda x $$
所以指数形式一次导相当于乘一个指数里面自变量t的系数λ，这样的系数叫x的特征值。
所以二阶导就乘两个特征值，三阶乘三个，那微分方程就变成多项式了。原来的微分方程就变成下面的
$$ \lambda ^2 x+ \omega^2 x=0 $$
这个方程要对任意x恒成立，那就只能\( \lambda=\pm i \omega \)，后面就和课本写的一样就行，舍掉负的特征值，因为两个实际上是一回事，Re(x)在特征值取正负是一样的，用一个就足够表述振动了。