如何处理不同参考系下电磁场的变换？电磁场的四维矩阵形式怎么写？

狭义相对论问题首先考虑洛伦兹协变/不变。
对于电学问题，首先考虑电荷守恒，但是微观电荷守恒要用到散度，所以要先得到梯度算符的四维形式。
这里受到三维梯度是\( \nabla=\hat{x}\partial_x+ \hat{y}\partial_y+ \hat{z}\partial_z\)的启发，猜测应该会有个类似\( -\frac1c\hat{t}\partial_t+ \hat{x}\partial_x+ \hat{y}\partial_y+ \hat{z}\partial_z\)
就写成\( (-\frac1c \partial_t,\nabla)\)
再看电荷守恒的微观式\(- \partial_t \rho=\nabla \cdot \vec{j}\)移项\( -\frac1c\partial_t (-c\rho)+\nabla \cdot \vec{j}=0\)
0显然是四维不变量，我们就构造出了合适的4-梯度算符，4-电流密度。
也就是\( (-\frac1c \partial_t,\nabla)\)和\( (-c\rho,\vec{j})\)，4-梯度其他应用以后再看。
这里关键的处理是为了记述方便，把4-梯度的协变分量(右下角标)写成\( (\partial_0,\partial_1,\partial_2,\partial_3) \)对应这四个\( (-\frac1c \partial_t,\partial_x,\partial_y,\partial_z)\)，同时4-电流密度(逆变右上角标，不是次方)\( J^{0,1,2,3}=(c\rho,\vec j) \)
这样点乘就可以写成\( \partial_\mu J^\mu=0 \)
可以发现\( \partial_\nu \partial ^\nu A^\alpha=-\mu_0 J^\alpha\)，其中\( A^\alpha=(\phi/c,\vec{A}) \)
然后就是从三维旋度凑出四维"旋度"，那么按照4-逆变分量写法，就能凑出来
$$ F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu- \partial^\nu A^\mu $$
当然，上面可以全跳过，直接得到
$$ F^{\mu\nu}=\begin{bmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z/c & B_y & -B_x & 0 \\ \end{bmatrix} $$
反对称，6分量，恰好3个电场3个磁场，且是一阶洛伦兹矢量拼出来的张量，一定是二阶洛伦兹张量，满足洛伦兹变换，用洛伦兹矩阵左乘右乘就行。
好处就是算运动电荷这种非对称场景，可以先在对称的参考系思考，比如电荷静止系，显然就是静电场没有磁场，计算出来以后洛伦兹变换直接给出运动电荷的电磁场，然后再看实际情况给出泰勒的精度就行。